Algèbre linéaire Exemples

$- 7 + 7 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 7$ et $b = 7$ .

$| z | = \sqrt{7^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 7)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 49}$

Étape 4.3

Additionnez $49$ et $49$ .

$| z | = \sqrt{98}$

Étape 4.4

Réécrivez $98$ comme $7^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $49$ à partir de $98$ .

$| z | = \sqrt{49 (2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 7 \sqrt{2}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{7}{- 7})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{7}{- 7}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = 7 \sqrt{2}$ .

$7 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$