Algèbre linéaire Exemples

- 7 + 7 i

$- 7 + 7 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a = - 7

$a = - 7$ et

b = 7

$b = 7$ .

| z | = \sqrt{7^{2} + {(- 7)}^{2}}

$| z | = \sqrt{7^{2} + {(- 7)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez

| z |

$| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Élevez

7

$7$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{49 + {(- 7)}^{2}}

$| z | = \sqrt{49 + {(- 7)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez

- 7

$- 7$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{49 + 49}

$| z | = \sqrt{49 + 49}$

Étape 4.3

Additionnez

49

$49$ et

49

$49$ .

| z | = \sqrt{98}

$| z | = \sqrt{98}$

Étape 4.4

Réécrivez

98

$98$ comme

7^{2} \cdot 2

$7^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Factorisez

49

$49$ à partir de

98

$98$ .

| z | = \sqrt{49 (2)}

$| z | = \sqrt{49 (2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez

49

$49$ comme

7^{2}

$7^{2}$ .

| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}

$| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}

$| z | = \sqrt{7^{2} \cdot 2}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

| z | = 7 \sqrt{2}

$| z | = 7 \sqrt{2}$

| z | = 7 \sqrt{2}

$| z | = 7 \sqrt{2}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

θ = \arctan (\frac{7}{- 7})

$θ = \arctan (\frac{7}{- 7})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de

\frac{7}{- 7}

$\frac{7}{- 7}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est

\frac{3 π}{4}

$\frac{3 π}{4}$ .

θ = \frac{3 π}{4}

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de

θ = \frac{3 π}{4}

$θ = \frac{3 π}{4}$ et

| z | = 7 \sqrt{2}

$| z | = 7 \sqrt{2}$ .

7 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))

$7 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$